Centro de massa e centro de rigidez: onde os encontrar no ETABS, SAP2000 e Towers

O centro de massa (CM) e o centro de rigidez (CR) são duas grandezas que qualquer engenheiro que projeta edifícios em zonas sísmicas tem de documentar mais cedo ou mais tarde. Ambos estão diretamente disponíveis nos programas da CSI, mas em locais diferentes consoante a combinação de programas utilizada. Este artigo esclarece o que cada grandeza representa e mostra exatamente onde a encontrar em três cenários: ETABS, SAP2000 isolado e SAP2000 com o plugin Towers.

Figura 1: Planta do piso 1 do edifício utilizado nos exemplos, mostrando a posição do CM e do CR. O centro de massa situa-se quase no centro geométrico da planta; o centro de rigidez é puxado no sentido das paredes.

A figura acima ilustra a ideia central deste artigo. A massa está distribuída de forma bastante uniforme, pelo que o CM se localiza perto do centro geométrico. A rigidez lateral, contudo, está concentrada em três zonas muito desiguais (a parede de 7,4 m ao longo do bordo inferior, a parede de 9 m no bordo esquerdo e o núcleo em U no centro), e é isso que puxa o CR para (14,82 ; 2,81), a mais de 7 m de distância do CM na direção Y. Essa distância é a geradora da torção sob ação sísmica e a que o Eurocódigo 8 exige quantificar.

Por que razão precisamos do CM e do CR

Numa análise tridimensional por elementos finitos, a excentricidade real entre a massa e a rigidez já está automaticamente incluída nos resultados: a estrutura torce porque a matriz de rigidez e a matriz de massa assim o determinam, sem que o utilizador precise de introduzir qualquer dado adicional. O CM e o CR não servem, portanto, para "corrigir" a análise.

A sua utilidade reside na verificação regulamentar e interpretação do comportamento, especificamente:

• Regularidade em planta: a EN 1998-1, §4.2.3.2(6), exige que em cada piso e em cada direção a excentricidade estrutural cumpra e₀ ≤ 0,30·r e que o raio de torção cumpra r ≥ l_s, onde e₀ é a distância entre o CR e o CM, r é o raio de torção e l_s é o raio de giração da massa do piso em planta.
• Classificação de sistemas torcionalmente flexíveis: §5.2.2.1, com implicações diretas no fator de comportamento q.
• Excentricidade acidental: o deslocamento de ±5%·L_i exigido pela §4.3.2 é aplicado relativamente ao centro de massa do piso.
• Diagnóstico de projeto: uma grande distância CM-CR alerta para um sistema lateral mal distribuído em planta, originando efeitos de torção que se traduzem em pilares de canto fortemente solicitados.

Centro de massa (CM)

O CM é o centro da massa do piso. Depende exclusivamente da distribuição de massa (peso próprio, cargas permanentes quase permanentes e a fração quase permanente das sobrecargas, através da Mass Source) e é independente da rigidez e das cargas laterais. Em cada direção é calculado como uma média ponderada:

x_CM = Σ(m_i · x_i) / Σm_i     y_CM = Σ(m_i · y_i) / Σm_i

Centro de rigidez (CR)

O CR é o ponto do diafragma através do qual uma força horizontal pode ser aplicada sem induzir rotação do piso rígido. Como é uma propriedade da estrutura, é independente do carregamento.

O ETABS e o Towers determinam-no resolvendo, para cada diafragma, três casos de carga unitários aplicados num ponto arbitrário da laje: uma força unitária segundo X global, originando a rotação R_zx; uma força unitária segundo Y global no mesmo ponto, originando R_zy; e um momento unitário em torno de Z global, originando R_zz. As coordenadas do centro de rigidez são então:

X_CR = − R_zy / R_zz     Y_CR = R_zx / R_zz

Note-se também que num edifício de vários pisos o comportamento está acoplado tanto em planta como em altura: enquanto se calcula o CR de um piso, os restantes pisos estão livres para deslocarem e rodar. O CR obtido é, portanto, uma propriedade piso a piso do modelo completo e não o resultado do cálculo de um pórtico isolado.

Os exemplos apresentados a seguir foram todos retirados do mesmo edifício, modelado em ambos os programas: 12 pisos em betão armado, com pilares, vigas, lajes, paredes e núcleos, e diafragmas rígidos atribuídos a todos os pisos.

O que cada combinação fornece

1. ETABS

No ETABS, o cálculo do CR está integrado no motor de análise e ambos os centros são apresentados na mesma tabela. É o caminho mais direto dos três.

Figura 2: O edifício modelado no ETABS, com o diafragma D1 atribuído a todos os pisos.

1.1 Ativar o cálculo

Antes de executar a análise, garanta que a opção de cálculo do centro de rigidez está ativada:

Figura 3: A caixa de seleção Calculate Diaphragm Centers of Rigidity, no canto inferior esquerdo da janela Set Load Cases to Run, deve ser selecionada antes de executar a análise.

Esta é a causa mais comum da queixa "o ETABS não me dá o centro de rigidez": a opção está simplesmente desativada e as colunas surgem vazias.

1.2 Leitura da tabela

Uma vez executada a análise, os resultados encontram-se em:

Figura 4: A janela Choose Tables for Display, com o ramo Other Output Items expandido e a tabela Centers Of Mass And Rigidity selecionada.

Figura 5: A tabela Centers Of Mass And Rigidity: massa por piso, centro de massa, massa acumulada, centro de massa acumulado e centro de rigidez, tudo numa única linha por piso.

A tabela apresenta, por piso e por diafragma:

• Mass X / Mass Y: a massa do piso em cada direção;
• XCM / YCM: as coordenadas do centro de massa desse piso;
• Cum Mass X / Cum Mass Y: a massa acumulada desde a cobertura até ao piso em questão;
• XCCM / YCCM: o centro de massa dessa massa acumulada, ou seja, o centro de todo o edifício acima desse piso. Esta é uma coluna frequentemente ignorada e bastante útil: fornece o ponto de aplicação da resultante de inércia acima de cada nível;
• XCR / YCR: as coordenadas do centro de rigidez.

A leitura dos valores é elucidativa. O centro de massa mantém-se praticamente fixo ao longo dos 12 pisos (X_CM varia apenas entre 17,138 m e 17,160 m do piso 1 ao piso 11), enquanto o centro de rigidez migra substancialmente: Y_CR passa de 2,84 m no piso 1 para 6,31 m na cobertura, e X_CR desloca-se de 14,84 m para 13,16 m. Esta é a demonstração prática de que não existe um único centro de rigidez para um edifício: existe um por piso, e a verificação do EC8 tem de ser efetuada piso a piso.

1.3 Duas situações em que o ETABS não apresenta o CR

• Diafragmas semirrígidos: pelas razões expostas na secção de definições, o CR não é uma grandeza única e não é apresentado.
• Lajes pré-esforçadas (PT): para que os esforços axiais nos cabos sejam corretamente representados, o programa desativa internamente as restrições de diafragma rígido nos níveis onde existem cabos. Nesses níveis, a massa do diafragma, o MMI e o CR não são apresentados na tabela de resultados, uma vez que a tabela apenas lista pisos com um diafragma rígido efetivamente atribuído.

2. SAP2000 isolado

No SAP2000 isolado, o centro de massa de cada diafragma rígido está diretamente disponível. O centro de rigidez não é fornecido pelo programa.

Figura 6: O mesmo edifício modelado no SAP2000, com restrições de diafragma rígido D1_Story1 a D1_Story12.

Existe um resultado que quase sempre passa despercebido: o SAP2000 escreve as coordenadas do centro de massa de cada diafragma rígido no ficheiro .OUT, gerado automaticamente no primeiro cálculo do modelo. Sem tabelas para abrir nem dados para exportar: basta um editor de texto.

O ficheiro encontra-se na pasta do modelo, com o mesmo nome do ficheiro .sdb e com a extensão .OUT:

Figura 7: O ficheiro .OUT na pasta do modelo, ao lado do ficheiro .sdb. Abre no Bloco de Notas ou em qualquer editor de texto.

Figura 8: O bloco para o diafragma D1_Story1: massa translacional, momento de inércia de massa e coordenadas do centro de massa.

Cada bloco inicia-se com a identificação do diafragma e o tipo de restrição (por exemplo, D1_Story1, CONSTR = RIGID, DOF = U1 U2 R3) e contém três grupos de informação:

• Sistema de coordenadas local para o nó mestre da restrição: a orientação dos eixos do nó mestre do diafragma;
• Massa de deslocação e momentos de inércia de massa: a massa de deslocação segundo U1 e U2 e o momento polar de inércia de massa em torno de R3 (o MMI);
• Centro de massa: as coordenadas globais X, Y e Z do centro de massa, fornecidas separadamente para cada grau de liberdade de massa (U1, U2, U3).

Para as verificações habituais, as colunas de interesse são a U1 e a U2, que se referem à massa mobilizada horizontalmente e cujos valores coincidem entre si. A coluna U3 corresponde ao centro da massa vertical e apresenta normalmente valores ligeiramente diferentes; não é essa a coluna a utilizar para a excentricidade em planta.

Para o modelo de exemplo, o ficheiro devolve o conjunto completo dos 12 pisos (unidades do modelo: kN, m, C):

3. SAP2000 + Towers

Towers é um plugin da CSI Italia para o SAP2000, disponível para aquisição independentemente do VIS, que adiciona as funcionalidades típicas da análise de edifícios de mútiplos pisos. Uma vez instalado, corre diretamente a partir do menu Tools do SAP2000. É o caminho que, dentro do ambiente SAP2000, fornece o centro de rigidez.

3.1 Definir as torres

O ponto de partida é a definição de uma ou mais "torres" através da interface própria do plugin. Cada torre corresponde a um conjunto de pisos com continuidade vertical, o que permite tratar corretamente edifícios com blocos independentes ou juntas estruturais. As torres são guardadas dentro do ficheiro .sdb do modelo, pelo que normalmente não é necessário redefini-las em sessões posteriores.

Para que a definição dos pisos funcione, o modelo tem de ter diafragmas atribuídos às lajes, visto que o Towers baseia parte dos seus cálculos na presença de pisos identificados e das respetivas massas.

3.2 Calcular e consultar as propriedades

Dentro do grupo Towers properties, o botão Calculate desencadeia o cálculo, para cada torre do modelo, das seguintes grandezas por piso:

• centros de massa;
• centros de rigidez;
• raios de torção;
• raios polares (raio de giração da massa);
• coeficientes de sensibilidade aos deslocamentos, que medem a sensibilidade aos efeitos de segunda ordem.

A janela Settings controla a forma como esse cálculo é efetuado, e duas das suas opções merecem atenção especial.

Figura 9: A janela Settings do Towers. Os grupos destacados controlam o método de cálculo do centro de rigidez e a distribuição de forças utilizada para os raios de torção.

• Massa e rigidez a utilizar: o valor por omissão é a fonte de massa e a rigidez inicial, mas as propriedades podem ser obtidas a partir de um caso de carga anterior. Isto é relevante quando o estado de rigidez que pretende documentar é um estado fendilhado ou não linear em vez do estado elástico inicial.
• Método de cálculo dos centros de rigidez: Single floors centers of rigidity calcula o CR de cada piso isoladamente, carregando um piso de cada vez; All floors centers of rigidity carrega todo o edifício de uma só vez. Os valores apresentados adiante foram obtidos com o método de piso único, que é o método mais coerente com a verificação piso a piso exigida pela norma.
• Distribuição de forças para os raios de torção: para a opção de todos os pisos e para os raios de torção, as forças laterais podem ser distribuídas proporcionalmente à massa do piso, ou à massa e altura do piso com um expoente de altura K, reproduzindo a forma da distribuição de forças estáticas equivalentes.

Assim que o cálculo esteja concluído, as tabelas são apresentadas através do botão Display tables… e exportadas para Excel com o Export to Excel.

Figura 10: A tabela Centers of mass and rigidity do Towers para os 12 pisos do modelo. As excentricidades e_x e e_y surgem já calculadas.

A tabela apresenta, por torre e por piso: a cota, as coordenadas do centro de massa (X_cm, Y_cm), as coordenadas do centro de rigidez (X_cr, Y_cr) e as excentricidades e_x e e_y entre eles (que correspondem exatamente ao e₀ a comparar com 0,30·r). Os valores para o modelo de exemplo estão resumidos na tabela comparativa da secção 4.

A vantagem prática é clara: e_x e e_y vêm já calculados, poupando a etapa da subtração. E confirma-se o mesmo comportamento observado no ETABS: com o CM fixo e o CR a migrar, e_y diminui de −7,32 m para −3,78 m em altura, enquanto e_x aumenta de −2,31 m para −3,90 m.

4. Comparação de valores entre os três caminhos

Com o mesmo edifício modelado em ambos os programas, é elucidativo reunir tudo o que cada opção fornece numa única tabela. O SAP2000 isolado contribui apenas com o centro de massa, lido do ficheiro .OUT; o ETABS e o Towers contribuem com ambos os centros.

Anexos

modeloETABS.$et modeloETABS.EDB SAP2000.OUT SAP2000.sdb SAP2000.s2k