Centro de masa y centro de rigidez: dónde encontrarlos en ETABS, SAP2000 y Towers

El centro de masa (CM) y el centro de rigidez (CR) son dos parámetros fundamentales que todo ingeniero dedicado al diseño de edificios en zonas sísmicas debe evaluar y documentar. Ambos están directamente disponibles en los programas de CSI, pero en ubicaciones diferentes según la combinación de programas utilizada. Este artículo aclara qué representa cada magnitud y muestra exactamente dónde encontrarla en tres escenarios: ETABS, SAP2000 aislado y SAP2000 con el plugin Towers.

Figura 1: Planta del piso 1 del edificio utilizado en los ejemplos, mostrando la posición del CM y del CR. El centro de masa se sitúa casi en el centro geométrico de la planta; el centro de rigidez es desplazado en la dirección de los muros.

La figura anterior ilustra la idea central de este artículo. La masa está distribuida de forma bastante uniforme, por lo que el CM se localiza cerca del centro geométrico. La rigidez lateral, sin embargo, está concentrada en tres zonas muy desiguales (el muro de 7,4 m a lo largo del borde inferior, el muro de 9 m en el borde izquierdo y el núcleo en U en el centro), y esto es lo que desplaza el CR hacia (14,82 ; 2,81), a más de 7 m de distancia del CM en la dirección Y. Esta distancia es la generadora de la torsión bajo acción sísmica y la que el Eurocódigo 8 exige cuantificar.

Por qué razón necesitamos el CM y el CR

En un análisis tridimensional por elementos finitos, la excentricidad real entre la masa y la rigidez ya está automáticamente incluida en los resultados: la estructura se retuerce porque la matriz de rigidez y la matriz de masa así lo determinan, sin que el usuario necesite introducir ningún dato adicional. El CM y el CR no sirven, por tanto, para "corregir" el análisis.

Su utilidad radica en la comprobación reglamentaria e interpretación del comportamiento, específicamente:

• Regularidad en planta: la EN 1998-1, §4.2.3.2(6), exige que en cada piso y en cada dirección la excentricidad estructural cumpla e₀ ≤ 0,30·r y que el radio de torsión cumpla r ≥ l_s, donde e₀ es la distancia entre el CR y el CM, r es el radio de torsión y l_s es el radio de giro de la masa del piso en planta.
• Clasificación de sistemas torsionalmente flexibles: §5.2.2.1, con implicaciones directas en el factor de comportamiento q.
• Excentricidad accidental: el desplazamiento de ±5%·L_i exigido por la §4.3.2 se aplica respecto al centro de masa del piso.
• Diagnóstico de proyecto: una gran distancia CM-CR alerta sobre un sistema lateral mal distribuido en planta, originando efectos de torsión que se traducen en pilares de esquina fuertemente solicitados.

Centro de masa (CM)

El CM es el centroide de la masa del piso. Depende exclusivamente de la distribución de masa (peso propio, cargas permanentes casi permanentes y la fracción casi permanente de las sobrecargas, a través de la Mass Source) y es independiente de la rigidez y de las cargas laterales. En cada dirección se calcula como una media ponderada:

x_CM = Σ(m_i · x_i) / Σm_i     y_CM = Σ(m_i · y_i) / Σm_i

Centro de rigidez (CR)

El CR es el centroide de rigidez del diafragma: el punto donde, al aplicar una fuerza horizontal, el diafragma sufre solo traslación, sin ninguna rotación. Como es una propiedad de la estructura, es independiente de la hipótesis de carga.

ETABS y Towers lo determinan resolviendo, para cada diafragma, tres casos de carga unitarios aplicados en un punto arbitrario del forjado: una fuerza unitaria según X global, originando la rotación R_zx; una fuerza unitaria según Y global en el mismo punto, originando R_zy; y un momento unitario alrededor de Z global, originando R_zz. Las coordenadas del centro de rigidez son entonces:

X_CR = − R_zy / R_zz     Y_CR = R_zx / R_zz

Téngase en cuenta también que en un edificio de varios pisos el comportamiento está acoplado tanto en planta como en altura: mientras se calcula el CR de un piso, los restantes pisos están libres para trasladarse y rotar. El CR obtenido es, por tanto, una propiedad piso a piso del modelo completo y no el resultado del cálculo de un pórtico aislado.

Los ejemplos presentados a continuación se obtuvieron a partir del mismo edificio, modelado en ambos programas: 12 pisos de hormigón armado, con pilares, vigas, forjados y muros de cortante, y diafragmas rígidos asignados a todos los pisos.

Qué proporciona cada combinación

1. ETABS

En ETABS, el cálculo del CR está integrado en el motor de análisis y ambos centros se presentan en la misma tabla. Es el camino más directo de los tres.

Figura 2: El edificio modelado en ETABS, con el diafragma D1 asignado a todos los pisos.

1.1 Activar el cálculo

Antes de ejecutar el análisis, asegúrese de que la opción de cálculo del centro de rigidez está activada:

Figura 3: La casilla de verificación Calculate Diaphragm Centers of Rigidity, en la esquina inferior izquierda de la ventana Set Load Cases to Run, debe estar seleccionada antes de ejecutar el análisis.

Esta es la causa más común de la queja "ETABS no me da el centro de rigidez": la opción está simplemente desactivada y las columnas aparecen vacías.

1.2 Lectura de la tabla

Una vez ejecutado el análisis, los resultados se encuentran en:

Figura 4: La ventana Choose Tables for Display, con la rama Other Output Items desplegada y la tabla Centers Of Mass And Rigidity seleccionada.

Figura 5: La tabla Centers Of Mass And Rigidity: masa por piso, centro de masa, masa acumulada, centro de masa acumulado y centro de rigidez, todo en una única fila por piso.

La tabla presenta, por piso y por diafragma:

• Mass X / Mass Y: la masa del piso en cada dirección;
• XCM / YCM: las coordenadas del centro de masa de ese piso;
• Cum Mass X / Cum Mass Y: la masa acumulada desde la cubierta hasta el piso en cuestión;
• XCCM / YCCM: el centro de masa de esa masa acumulada, es decir, el centroide de todo el edificio por encima de ese piso. Esta es una columna frecuentemente ignorada y bastante útil: proporciona el punto de aplicación de la resultante de inercia por encima de cada nivel;
• XCR / YCR: las coordenadas del centro de rigidez.

La lectura de los valores es esclarecedora. El centro de masa se mantiene prácticamente fijo a lo largo de los 12 pisos (X_CM varía solo entre 17,138 m y 17,160 m del piso 1 al piso 11), mientras que el centro de rigidez migra sustancialmente: Y_CR pasa de 2,84 m en el piso 1 a 6,31 m en la cubierta, y X_CR se desplaza de 14,84 m a 13,16 m. Esta es la demostración práctica de que no existe un único centro de rigidez para un edificio: existe uno por piso, y la comprobación del EC8 debe realizarse piso a piso.

1.3 Dos situaciones en las que ETABS no presenta el CR

• Diafragmas semirrígidos: por las razones expuestas en la sección de definiciones, el CR no es una magnitud única y no se presenta.
• Forjados pretensados (PT): para que los esfuerzos axiales en los cables se representen correctamente, el programa desactiva internamente las restricciones de diafragma rígido en los niveles donde existen cables. En esos niveles, la masa del diafragma, el MMI y el CR no se presentan en la tabla de resultados, ya que la tabla solo lista pisos con un diafragma rígido efectivamente asignado.

2. SAP2000 aislado

En SAP2000 aislado, el centro de masa de cada diafragma rígido está directamente disponible. El centro de rigidez no es proporcionado por el programa.

Figura 6: El mismo edificio modelado en SAP2000, con restricciones de diafragma rígido D1_Story1 a D1_Story12.

Existe un resultado que casi siempre pasa desapercibido: SAP2000 escribe las coordenadas del centro de masa de cada diafragma rígido en el archivo .OUT, generado automáticamente en el primer cálculo del modelo. Sin tablas que abrir ni datos que exportar: basta con un editor de texto.

El archivo se encuentra en la carpeta del modelo, con el mismo nombre del archivo .sdb y con la extensión .OUT:

Figura 7: El archivo .OUT en la carpeta del modelo, junto al archivo .sdb. Se abre con el Bloc de notas o en cualquier editor de texto.

Figura 8: El bloque para el diafragma D1_Story1: masa de traslación, momento de inercia de masa y coordenadas del centro de masa.

Cada bloque se inicia con la identificación del diafragma y el tipo de restricción (por ejemplo, D1_Story1, CONSTR = RIGID, DOF = U1 U2 R3) y contiene tres grupos de información:

• Sistema de coordenadas local para el nudo maestro de la restricción: la orientación de los ejes del nudo maestro del diafragma;
• Masa de traslación y momentos de inercia de masa: la masa de traslación según U1 y U2 y el momento polar de inercia de masa alrededor de R3 (el MMI);
• Centro de masa: las coordenadas globales X, Y y Z del centro de masa, proporcionadas separadamente para cada grado de libertad de masa (U1, U2, U3).

Para las comprobaciones habituales, las columnas de interés son la U1 y la U2, que se refieren a la masa movilizada horizontalmente y cuyos valores coinciden entre sí. La columna U3 corresponde al centroide de la masa vertical y presenta normalmente valores ligeramente diferentes; no es esa la columna a utilizar para la excentricidad en planta.

Para el modelo de ejemplo, el archivo devuelve el conjunto completo de los 12 pisos (unidades del modelo: kN, m, C):

3. SAP2000 + Towers

Towers es un plugin de CSI Italia para SAP2000, disponible para su adquisición independientemente de VIS, que añade las funcionalidades típicas del análisis de edificios multifacéticos. Una vez instalado, se ejecuta directamente desde el menú Tools de SAP2000. Es el camino que, dentro del entorno SAP2000, proporciona el centro de rigidez.

3.1 Definir las torres

El punto de partida es la definición de una o más "torres" a través de la interfaz propia del plugin. Cada torre corresponde a un conjunto de pisos con continuidad vertical, lo que permite tratar correctamente edificios con bloques independientes o juntas estructurales. Las torres se guardan dentro del archivo .sdb del modelo, por lo que normalmente no es necesario redefinirlas en sesiones posteriores.

Para que la definición de los pisos funcione, el modelo debe tener diafragmas asignados a los forjados, dado que Towers basa parte de sus cálculos en la presencia de pisos identificados y sus respectivas masas.

3.2 Calcular y consultar las propiedades

Dentro del grupo Towers properties, el botón Calculate desencadena el cálculo, para cada torre del modelo, de las siguientes magnitudes por piso:

• centros de masa;
• centros de rigidez;
• radios de torsión;
• radios polares (radio de giro de la masa);
• coeficientes de sensibilidad a los desplazamientos, que miden la sensibilidad a los efectos de segundo orden.

La ventana Settings controla la forma en que se realiza este cálculo, y dos de sus opciones merecen especial atención.

Figura 9: La ventana Settings de Towers. Los grupos destacados controlan el método de cálculo del centro de rigidez y la distribución de fuerzas utilizada para los radios de torsión.

• Masa y rigidez a utilizar: el valor por defecto es la fuente de masa y la rigidez inicial, pero las propiedades pueden obtenerse a partir de un caso de carga anterior. Esto es relevante cuando el estado de rigidez que se pretende documentar es un estado fisurado o no lineal en lugar del estado elástico inicial.
• Método de cálculo de los centros de rigidez: Single floors centers of rigidity calcula el CR de cada piso aisladamente, cargando un piso a la vez; All floors centers of rigidity carga todo el edificio de una sola vez. Los valores presentados más adelante se obtuvieron con el método de piso único, que es el coherente con la comprobación piso a piso exigida por la norma.
• Distribución de fuerzas para los radios de torsión: para la opción de todos los pisos y para los radios de torsión, las fuerzas laterales pueden distribuirse proporcionalmente a la masa del piso, o a la masa y altura del piso con un exponente de altura K, reproduciendo la forma de la distribución de fuerzas estáticas equivalentes.

Una vez concluido el cálculo, las tablas se presentan a través del botón Display tables… y se exportan a Excel con Export to Excel.

Figura 10: La tabla Centers of mass and rigidity de Towers para los 12 pisos del modelo. Las excentricidades e_x y e_y aparecen ya calculadas.

La tabla presenta, por torre y por piso: la cota, las coordenadas del centro de masa (X_cm, Y_cm), las coordenadas del centro de rigidez (X_cr, Y_cr) y las excentricidades e_x y e_y entre ellos (que corresponden exactamente a e₀ a comparar con 0,30·r). Los valores para el modelo de ejemplo están resumidos en la tabla comparativa de la sección 4.

La principal ventaja práctica es que las excentricidades exe_xex y eye_yey se presentan ya calculadas, eliminando la necesidad de realizar comprobaciones manuales adicionales. Y se confirma el mismo comportamiento observado en ETABS: con el CM fijo y el CR migrando, e_y disminuye de −7,32 m a −3,78 m en altura, mientras que e_x aumenta de −2,31 m a −3,90 m.

4. Comparación de valores entre los tres caminos

Con el mismo edificio modelado en ambos programas, es esclarecedor reunir todo lo que cada opción proporciona en una única tabla. SAP2000 aislado contribuye únicamente con el centro de masa, leído del archivo .OUT; ETABS y Towers contribuyen con ambos centros.

Anexos

modeloETABS.$et modeloETABS.EDB SAP2000.OUT SAP2000.sdb SAP2000.s2k